Matemaattinen malli serkusten välisestä geneettisestä sukulaisuudesta

Tämän olen tehnyt tekoälyn avustamana ja käytännössä asiaa ei tarvitse pohtia näin "monimutkaisesti". Mutta omasta mielestäni matematiikka ja erityisesti todennäköisyyslaskenta on erittän mielenkiintoista, joten:

Serkusten välistä geneettistä sukulaisuutta voidaan kuvata matemaattisesti useilla tavoilla, joista yleisimmät perustuvat sukulaissuhdekertoimeen (coefficient of relationship) ja yhteisten, samaperäisten (identical by descent, IBD) DNA-osuuksien odotusarvoon. Nämä mallit auttavat ymmärtämään, kuinka suuri osuus serkusten geeneistä on peräisin yhteisiltä esivanhemmilta.

Yleisimmin tarkastellaan ensimmäisiä serkkuja, joiden yhteiset esivanhemmat ovat heidän isovanhempansa.

1. Sukulaissuhdekerroin ($r$)

Sukulaissuhdekerroin mittaa todennäköisyyttä sille, että kahdella henkilöllä on yhteinen alleeli tietyssä lokuksessa, joka on peritty yhteiseltä esivanhemmalta. Ensimmäisten serkkujen tapauksessa reitti yhteisiin esivanhempiin kulkee heidän vanhempiensa (jotka ovat sisaruksia) kautta iso- tai isovanhemmille.

Lasketaan reitit ja todennäköisyydet:

• Serkku A:lta hänen vanhemmalleen (todennäköisyys 1/2)
• Serkun A vanhemmalta tämän vanhemmalle (serkusten yhteinen isovanhempi) (todennäköisyys 1/2)
• Yhteiseltä isovanhemmalta serkku B:n vanhemmalle (todennäköisyys 1/2)
• Serkku B:n vanhemmalta serkku B:lle (todennäköisyys 1/2)

Koska ensimmäisillä serkuilla on kaksi yhteistä isovanhempaa (esim. isän vanhemmat tai äidin vanhemmat), huomioidaan molemmat reitit. Jokaisen reitin todennäköisyys sille, että tietty alleeli periytyy on $(1/2{)}^4=1/16$.

Koska yhteisiä isovanhempia on kaksi, lasketaan näiden reittien todennäköisyydet yhteen:

$r=(1/2{)}^4+(1/2{)}^4=1/16+1/16=2/16=1/8$

Ensimmäisten serkkujen sukulaissuhdekerroin on siis 1/8. Tämä tarkoittaa, että on keskimäärin 1/8 todennäköisyys, että heillä on yhteinen alleeli tietyssä lokuksessa, joka on peritty heidän yhteisiltä isovanhemmiltaan.

2. Yhteisten IBD DNA-osuuksien odotusarvo

Toinen tapa mallintaa geneettistä sukulaisuutta on tarkastella sitä osuutta DNA:sta, joka on peritty samalta yhteiseltä esivanhemmalta ilman väliin tulleita sukusolunmuodostumisia (meiooseja). Tätä kutsutaan IBD:ksi (identical by descent).

Ensimmäisten serkkujen tapauksessa kumpikin on perinyt keskimäärin puolet DNA:staan kummaltakin vanhemmaltaan. Heidän vanhempansa ovat sisaruksia ja ovat perineet keskimäärin puolet DNA:staan omilta vanhemmiltaan (serkusten isovanhemmilta).

Näin ollen, serkku A on perinyt keskimäärin $1/2\times 1/2=1/4$ DNA:staan isovanhemmalta X (jonka myös serkku B:n vanhempi peri). Vastaavasti serkku B on perinnyt keskimäärin $1/2\times 1/2=1/4$ DNA:staan samalta isovanhemmalta X.

Todennäköisyys sille, että serkku A perii tietyn DNA-segmentin isovanhemmalta X on 1/4, ja todennäköisyys sille, että serkku B perii saman segmentin samalta isovanhemmalta X on 1/4. Todennäköisyys sille, että molemmat perivät saman segmentin samalta isovanhemmalta X on $1/4\times 1/4=1/16$.

Koska yhteisiä isovanhempia on kaksi, todennäköisyys sille, että he jakavat IBD-segmentin jommaltakummalta isovanhemmalta on:

Odotusarvo IBD DNA-osuudelle = (todennäköisyys periä IBD isovanhemmalta 1) + (todennäköisyys periä IBD isovanhemmalta 2) Odotusarvo IBD DNA-osuudelle = $(1/2\times 1/2\times 1/2\times 1/2)+(1/2\times 1/2\times 1/2\times 1/2)=1/16+1/16=2/16=1/8$.

Ensimmäiset serkut jakavat keskimäärin 1/8 DNA:staan samaperäisesti. Tämä vastaa noin 12.5% heidän koko genomistaan.

Yhteenveto

Matemaattisesti serkusten geneettistä sukulaisuutta kuvaa parhaiten sukulaissuhdekerroin $r=1/8$ tai odotusarvo yhteisille IBD DNA-osuuksille, joka on myös 1/8 (tai 12.5%). Nämä mallit osoittavat, että ensimmäiset serkut jakavat keskimäärin 1/8 geeneistään yhteisten isovanhempiensa kautta. On kuitenkin tärkeää huomata, että tämä on odotusarvo, ja yksittäisten serkkuparien kesken jaettu DNA-osuus voi vaihdella hieman johtuen sattumanvaraisesta periytymisestä (meioosin rekombinaatiosta).

Vastaavia matemaattisia malleja voidaan laajentaa koskemaan myös kaukaisempia serkuksia (toiset serkut, kolmannet serkut jne.) laskemalla reitit ja todennäköisyydet kunkin sukupolven yli yhteisiin esivanhempiin. Jokainen sukupolven askel lisää 1/2 kertoimen todennäköisyyslaskuun.